フーリエによって発明されたフーリエ変換とフーリエ級数とは何ですか?

フーリエについて簡単に紹介します。フーリエはフランスのオーセールで生まれました。彼は生涯科学のために一生懸命働いたと言えます。フーリエは仕立て屋の家に生まれましたが、残念ながら9歳の時に両親が亡くなり、孤児になりました。幸運にも、フーリエは地元の司教に養子として引き取られ、司教もフーリエを成人に育て、当時の陸軍士官学校に送りました。1795年、フーリエは優秀な成績でパリのエコール・ポリテクニークの助教授として成功しました。しかしその後、戦争が始まり、1798年にフーリエはナポレオン軍に従ってエジプトに向かわなければなりませんでした。幸運なことに、フーリエは軍隊にいたころからナポレオンから高く評価されており、1801年に帰国した後、地方知事に任命されました。

実際、フーリエ自身はそれよりずっと前からすでに科学と物理学に興味を示していました。 1807年、彼は熱伝導に関する論文を書き、パリ科学アカデミーに真剣に受け止められることを期待したが、却下された。しかし、彼は諦めず、改訂を重ねた。後に、彼は実際に科学アカデミーの大賞を受賞したが、その論文は出版されなかった。その後、関数に関する研究で注目を集めるようになった。 1817年、フーリエはパリ科学アカデミーの会員に選出されました。その後、フーリエの科学的研究が本格的に始まり、彼の名を冠したフーリエ変換やフーリエ級数など、多くの成果が達成されました。これらすべては、彼の科学的姿勢と切り離せないものです。 1822年にフーリエがパリ科学アカデミーの終身書記官となったのもこのためであった。

偉大な数学者であり物理学者でもあるフーリエといえば、彼のフーリエ変換について触れなければなりません。現在まで、この方法は非常に大きな影響力を持っています。では、この理論的方法を正しく理解するにはどうすればよいでしょうか。まず、フーリエ変換は実際には信号を研究するために使用できる方法であることを明確にする必要があります。言い換えれば、信号のコンポーネントを分析するために使用でき、もちろん、これらのコンポーネントを組み合わせて信号を形成することもできます。さらに、信号の構成要素となる波形は実際には多数あり、多様ですが、フーリエ変換では正弦波を構成要素として使用します。この理論的方法といえば、まず、一定の条件を満たすあらゆる関数を三角関数の形で表現できるという点です。また、異なる研究分野では、この理論的方法もさまざまな形をとっています。非常に実用的であると言えます。

では、フーリエが発明した変換はどのような方法を使用するのでしょうか。実際には、2つの方法を使用します。1つは実数で、非常に理解しやすいです。複素数に関しては、比較的複雑で、多くの専門知識が必要です。しかし、実際には、実数の離散性を理解すれば、理解するのはそれほど難しくありません。今日まで、この理論的方法は依然として非常に重要な役割を果たしています。この理論的方法から、フーリエ族も派生しました。フーリエ族のメンバー関数は、特定の状況下では一定の規則性を示すことができます。もちろん、非周期的な規則性を示すこともあります。しかし、いずれにしても、この理論的方法は、デジタル信号処理などの分野にとって非常に重要です。

偉大なフランスの数学者であり物理学者であるフーリエについて話すとき、人々はすぐに彼の有名なフーリエ級数を思い浮かべるでしょう。実際、今日に至るまで、この理論は関連する研究分野で探求する価値があります。当時、長い研究期間を経て、フーリエは基本的にすべての関数は無限大の形で表現できることを発見しました。その後、彼はこの発見の側面をさらに確認し、後世の人々は彼の発見を重要な研究成果とみなしました。では、フーリエ級数とは一体何でしょうか。つまり、すべての関数は正弦関数と余弦関数、およびそれらによって形成される無限級数で表現でき、現在では特殊三角関数と呼ばれています。その後の研究と有名なオイラーの公式の応用により、フーリエ級数は指数級数と呼ばれることがわかりました。

では、フーリエのこの重要な発見の特徴は何でしょうか。その 1 つは収束性です。つまり、ディリクレ条件を満たす周期関数は、フーリエ級数として表現すると収束します。もう一つの特性は直交性と呼ばれ、つまり、2 つの異なるベクトルの内積が 0 の場合、つまり、それらのベクトルの間にまったく関係がない場合、それらは直交します。今日、フーリエ級数の発見は多くの分野で重要な役割を果たしており、特に信号処理の分野では、さまざまな信号の干渉に対処する上でますます重要な役割を果たしています。これは科学者が科学の歴史に果たした重要な貢献であり、ますます多くの人々に影響を与えています。